Figuras autoparticionables II

Vamos a ver ahora un par de soluciones no triviales. Ojeando el libro de matemáticas del que tenía que hacer los problemas me encontré con un teorema que me imagino que alguna vez conocí pero conseguí olvidar absolutamente. Resulta que si tienes un triángulo rectángulo y trazas su altura, lo partes en dos triángulos que son semejantes al original. Es decir, en este dibujo

los triágulos ACB, ADC y CDB son semejantes. Esto viene muy bien para encontrar más soluciones de nuestro problema, porque basta con que nos aseguremos de que dos catetos encajan un número enteros de veces en la altura para que todos los ángulos coincidan maravillosamente; si se echan las cuentas, sale que podemos encontrar soluciones para todos los valores de a²+b². Por ejemplo, he aquí una solución en la que juntamos 13=2²+3² triángulos para obtener uno semejante 13 veces mayor:

En el lado izquierdo hay 4=2² triángulos, y en el lado derecho otros 9=3² triángulos. ¿No es precioso? He pintado de azul claro dos triángulos orientados de forma diferente a los demás para mostrar que en realidad ahí hay un montón de soluciones, tenemos unas cuantas formas de reorientar los triángulos; de hecho, si hubiese muchos triángulos de 2x3, podríamos girar 90º bloques cuadrados de tamaño 6x6, o girar rectángulos dentro de rectángulos; también podríamos mezclar los triángulos del lado derecho con los del lado izquierdo.

Más soluciones, pero bastante menos bonitas. Sean r, s y t tres números enteros (a ser posible mayores que 0 para no obtener soluciones triviales), y sean a, b y c tres números tales que

Entonces con 2r(s+2t) figuras L como las de la izquierda se puede construir una figura semejante como la de la derecha:

Un ejemplo. Para construir una L que se pueda juntar en grupos de 6, primero buscamos r, s y t tales que 6=2r(s+2t); por ejemplo, r=s=t=1. Luego buscamos b y c tales que b/c=s/t, podemos escoger b=c=1, y finalmente a = raiz(3/2). Nuestra solución es:

De esta forma se pueden generar soluciones no triviales para todos los números pares salvo 2 y 4.