Formas de montar una escena

Un amigo mío que es director de películas me contó intrigado el siguiente problema. En un libro sobre composición, donde querían enfatizar lo complicado que puede ser montar una escena, contaban que si tienes n tomas, entonces puedes montarlas de N=e·n!-1 formas diferentes para construir la escena, lo cual implica que habrá tantas posibilidades de hacerlo que no será nada fácil decidir entre ellas.

Un ejemplo para aclarar el problema. Quieres mostrar una fiesta en una habitación y tienes cinco tomas; en ellas, la cámara enfoca la puerta, un sofá, el balcón, la mesa con la comida, y la pista de baile. Podrías desechar algunas tomas, o usar sólo un trozo de alguna toma, pero claro, tienes que usar al menos una toma.

¿De cuántas formas se puede hacer esto? Se podrían usar las 5 tomas, mostrándolas ordenadas de 5!=120 formas diferentes. También se podrían usar cuatro tomas; se podrían escoger de comb(5,4)=5 formas, y para cada elección, las tomas seleccionadas se podrían mostrar ordenadas de 4!=24 formas diferentes. O tres, o...

En términos matemáticos, se quiere el número de permutaciones de subconjuntos no vacíos de un conjunto de n elementos.

En total,

Así que la fórmula es rara pero correcta, al redondear el resultado al entero más cercano dará la respuesta correcta.

Ese -1 es peculiar. Sería raro que te preguntasen qué permutaciones hay en el término e·n!. Sin embargo, está muy claro cuál es la permutación que no hay en el -1: la del conjunto vacío.